複素数

二〇一一年皐月六日

ではでは

こういうのはどうだろうか。 複素数$z$の方程式 \[z^n=1\] の解は原点を中心とする単位円に内接する正$n$角形の頂点。 頂点のうちの1つは$z=1$だから,残りを$z_1,\ z_2,\ \cdots ,\ z_{n-1}$とすれば \[(z-1)(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1})=z^n-1 \] ということになりますね。 ここで,$z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1)$に注意すれば, \[(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1})=z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1 \] よって \[ |z-z_1||z-z_2|\cdots |z-z_{n-1}|=|z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1| \] ここで,$z=1$とすると \[ |1-z_1||1-z_2|\cdots |1-z_{n-1}|=|1^{n-1}+1^{n-2}+\cdots +1+1|=n \] つまり, 原点を中心とする単位円に内接する正$n$角形のn個の頂点のうちの1つから, 他の$n-1$個の頂点へ引いた$n-1$本の線分の長さの積は$n$になるのだよ。 \par\par でもね,こんな代数的な証明ではなくて,初等幾何的に説明や解釈が出来れば良いなと。 ずっと考えてるけどなかなかね。 でもこれを使った面白いネタになりそうな事を思いついたので それはまたいずれ。 ってタイポしてたからちょっと手直ししたよ。

amaryllis9 at 22:28|PermalinkComments(0)TrackBack(0)