複素数
二〇一一年皐月六日
ではでは
こういうのはどうだろうか。
複素数$z$の方程式
\[z^n=1\]
の解は原点を中心とする単位円に内接する正$n$角形の頂点。
頂点のうちの1つは$z=1$だから,残りを$z_1,\ z_2,\ \cdots ,\ z_{n-1}$とすれば
\[(z-1)(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1})=z^n-1 \]
ということになりますね。
ここで,$z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1)$に注意すれば,
\[(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1})=z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1 \]
よって
\[ |z-z_1||z-z_2|\cdots |z-z_{n-1}|=|z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1| \]
ここで,$z=1$とすると
\[ |1-z_1||1-z_2|\cdots |1-z_{n-1}|=|1^{n-1}+1^{n-2}+\cdots +1+1|=n \]
つまり,
原点を中心とする単位円に内接する正$n$角形のn個の頂点のうちの1つから,
他の$n-1$個の頂点へ引いた$n-1$本の線分の長さの積は$n$になるのだよ。
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でもね,こんな代数的な証明ではなくて,初等幾何的に説明や解釈が出来れば良いなと。
ずっと考えてるけどなかなかね。
でもこれを使った面白いネタになりそうな事を思いついたので
それはまたいずれ。
ってタイポしてたからちょっと手直ししたよ。