二〇一一年皐月六日

ではでは

こういうのはどうだろうか。 複素数$z$の方程式 \[z^n=1\] の解は原点を中心とする単位円に内接する正$n$角形の頂点。 頂点のうちの1つは$z=1$だから,残りを$z_1,\ z_2,\ \cdots ,\ z_{n-1}$とすれば \[(z-1)(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1})=z^n-1 \] ということになりますね。 ここで,$z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1)$に注意すれば, \[(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1})=z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1 \] よって \[ |z-z_1||z-z_2|\cdots |z-z_{n-1}|=|z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1| \] ここで,$z=1$とすると \[ |1-z_1||1-z_2|\cdots |1-z_{n-1}|=|1^{n-1}+1^{n-2}+\cdots +1+1|=n \] つまり, 原点を中心とする単位円に内接する正$n$角形のn個の頂点のうちの1つから, 他の$n-1$個の頂点へ引いた$n-1$本の線分の長さの積は$n$になるのだよ。 \par\par でもね,こんな代数的な証明ではなくて,初等幾何的に説明や解釈が出来れば良いなと。 ずっと考えてるけどなかなかね。 でもこれを使った面白いネタになりそうな事を思いついたので それはまたいずれ。 ってタイポしてたからちょっと手直ししたよ。

amaryllis9 at 22:28|PermalinkComments(0)TrackBack(0)

二〇一一年弥生廿一日

練習を兼ねて少し打ち込んでみる

MathJaxの練習を兼ねて,少し打ち込んでみよう
それというのも,ライブドアの方だと, HTMLで書き込まないと行けないみたいだから
少し面倒。
マークアップ忘れてるし。
ちなみにHTMLって, HyperText Markup Language。

Möbius transformation

メビウス変換


 メビウス変換$f$とは, \[ f(z)=\frac{az+b}{cz+d} \] の形で表される複素数$z$から$w=f(z)$への変換で, $a,\ b,\ c,\ d$はいずれも複素数です。
 $z$は複素数と書きましたが,実際には,複素数全体の集合$\mathbb{C}$に 無限遠点$\infty$を加えたもの,つまり$\mathbb{C}\cup\{\infty\}$の元です。面倒なので,$\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$と書く事にしましょう。
 \hat{\mathbb{C}}は平面に無限遠点を加えたものなので,球面と同相です。 つまり,メビウス変換は球面から球面への変換ということになります。

 例えば,$f(z)=z+p\ \ p\in \mathbb{C}$は複素数平面上の平行移動を表します。これは$z+p=\frac{1z+p}{0z+1}$と表す事が出来るので,メビウス変換です。

 逆に,例えば$a=d=0.\ b=c=1$としたメビウス変換$f(z)=\frac{1}{z}$は幾何的にはどのような変換でしょうか。 \[ \frac{1}{z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\bar{z}}{\bar{z}}=\frac{\bar{z}\ \ }{|z|^2} \] これは中心を原点とした半径1の円(俗にいう単位円)に関する反転と共役複素数への変換(つまり実軸に関する対称変換)との合成です。特に,$f(0)=\infty,\ f(\infty)=0$となることを確認しましょう。また$|z|=1$の場合,$f(z)=\bar{z}$となります。



amaryllis9 at 13:43|PermalinkComments(0)TrackBack(0)

二〇一一年弥生廿日

ほんなら

\[\frac{az+b}{cz+d}=z'\] これでどや?
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ゆうことで、iphoneからでも数式で投稿できる事が 検証できた。 こらなかなかええかも。
コメントでも効くんやろか
流石に無理やろかな。

amaryllis9 at 23:30|PermalinkComments(2)TrackBack(0)MathJax